单点紧化
又到了乱扯超级无聊的数理知识的时间啦！
在实数轴上，负无穷和正无穷之间相距多远？
普通意义下，负无穷在数轴的最最最最左边，正无穷在数轴的最最最最右边，两者肯定是相差无穷远啊～
但是数学家喜欢不断地把事情抽象化再来研究思考，这样逼格就更高更能够揭示数学对象的本质。虽然实数轴可以画成一根直线，但是通过一个简单的变换，我们可以把它拗成别的形状而不破坏它的根本性质。
具体做法是这样的：我们在 0 点上边放上一个圆，圆的顶端记作 P。任取实数轴上的一个点 Q，射线 PQ 恰好与圆周有一个唯一的交点 Q'。于是，Q 与 Q' 就能产生一一对应，而且这种对应关系是连续的：如果 Q 只动一点点，那么对应的 Q' 也只动一点点。
拓扑学上，我们称实数轴与圆同胚……不，差了一口气——圆顶端的那个 P 是对应不到实数轴上的任何地方的，所以与实数轴同胚的不是整个圆，而是圆扣掉顶上的那个点 P。
回到一开始的题目，负无穷在实数轴上会跑到左侧无穷远的地方，但是对应到那个圆上，其实是跑到无限接近 P 左侧的位置。同样，正无穷在实数轴上是右侧无穷远的地方，相对应在圆上是无限接近 P 右侧的位置。
所以，「负无穷」和「正无穷」之间就像《创造亚当》的两根手指一样，中间只要填上一个单点 P 就接上了。接上以后形成了一个封闭的圆环，这是一个「无处逃逸」的形状（整个集合有限，而且没有一个可以无限接近却不在集合里面的极限点），数学上称作「紧」。
▲ 虽然只差一个点，距离却是无穷远。《创造亚当》是单点紧化的最佳范例。米开朗基罗肯定是懂拓扑学的，否则也不会用红笔把注解标出来
像实数轴这种乍一看「广阔无垠」，实际上只要一个画龙「点」睛就让整个集合逃不出如来佛的手掌心的戏法，在拓扑学中叫作 Alexandroff one-point compactification（亚历山德洛夫单点紧化）。
单点紧化的核心启示就是：别看负无穷和正无穷好像一个极左一个极右，其实它们两个是分别奔向同一个极点。