凯利公式

假如赌场里有一个游戏，赢钱概率 51%，赔率 1:1（就是在退还你赌资的基础上，再给一倍的奖金），你可以一直玩。请问，你的最佳策略是什么？

由于赢钱的概率大于 50%，在 1:1 的赔率下，期望收益明显是正的。按照一般的理论和直觉，我们应该选择玩这个游戏，而且最好一直玩下去。但是，毕竟还有 49% 血本无归的可能，如果一次把钱全部投下去，万一输了就没有任何本钱继续玩了。

所以，每次投多少钱是有一个讲究的。这里隆重推出本文的主角，凯利公式（Kelly's Formula）：

$f^*=p-\frac{1-p}{b}$

其中：

• $p$ 代表赢钱的概率；
• $b$ 代表赢钱的赔率（赌注基础上的额外部分）；
• $f^*$ 代表最佳下注比率。

实例

假设有个「理财产品」，每年收益的概率 10%，收益的话资产直接 ×16。剩下 90% 的概率血本无归。

于是，$p=0.1, b=16-1=15$。根据凯利公式：

$f^*=0.1-\frac{0.9}{15}=0.04$

也就是说，你每年应该拿出全部资产的 4% 来投这个产品。

凯利判据

什么游戏是不值得玩的呢？只要考虑 $f^*\le 0$ 的情况就可以了，可以推出 $p\le\frac{1}{b+1}$，这个数恰好等于公平游戏的边界。

总结

• 期望收益为正的游戏都可以玩，但要注意每次投注的比例；
• 每次投注都应该是当前总钱数的一个比例，这样才能利用复利效应；
• 期望为负的游戏反复玩最后一定亏光；
• 只要血本无归的概率不为 0，那么任何情况下你都不应该 all-in，所谓留得青山在，不怕没柴烧。

限制条件

凯利公式的适用场景为最大化同一个游戏反复下注的长期平均收益率。相信 YOLO¹ 哲学的则每次都应该 all-in（我表示佩服）。

如果输钱的时候不是血本无归，而是损失一定的比例，那么凯利公式需要稍作修改，最后得出的最佳投资比可能还会大于 100%（也就是加杠杆炒股的理论依据😅）。

Footnotes

1. You Only Live Once，「不枉此生，凡事豪赌」 ↩