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偶尔会听人这么说：人生不像数学，没有对错，只要精彩就行。

数学，在许多人的观念里，是一个最最「铁面无私」、只认对错的范畴。数学就是一个讲对错的地方，而别的学科（比如人文学科）就没有那么非黑即白。

我觉得这种讲法固然有理，但是总给人一点点……外行的感觉？就有点像「音乐最重要的就是要好听」这样的观点。

其实数学里有一个词比 incorrect 更可怕，那就是 trivial——这个词一般译作「平凡」。数学家说起 trivial 的时候，往往带着一种鄙夷的口气，「那么明显正确的东西，我脑细胞都不用死一个就知道了」。可见数学研究真正原动力并不是对错，而是「有趣」。一个数学概念一旦 trivial 了，那就比 incorrect 更不值钱。

数学是一个人类创造出来的理想世界，所以我们可以在数学的世界里创造任何东西，包括错误的东西，只要通过公理强行定义就可以了，比如前几天刚提到过的单点紧化，或者是更加有名的 $\sqrt{-1}$ ，就是把错误的、不存在的东西强行定义出来。结果「错误」本身非但不是问题，反而让数学变得无比有趣。比如还有一个非常逆天的例子：

$1+2+3+4+5+\cdots = -\frac{1}{12}$

你没看错——所有的正整数之和等于 -1/12。这么鬼畜的结论，在物理里的量子场论中居然有实际意义！我其实不懂量子场论，就不在这里装蒜了，感兴趣的可以移步到知乎。¹

不过也可以举一个反例，就是许多人小的时候也许都尝试过的「定义 1/0」——如果 -1 都能开根号，为什么不能定义一个数来表示 1/0 呢？

假设我们把 1/0 定义成 🤔 好了。假设 🤔 能够像别的实数一样运算的话，那么根据乘法结合律可以得 (🤔×0)×0=🤔×(0×0)，但前者 (🤔×0)×0=1×0=0，而后者 🤔×(0×0)=🤔×0=1，这就矛盾了。于是我们只能假设 🤔 是不符合结合律的。还可以举出其他例子来证明 🤔 还不能满足其他各种运算法则，最后 🤔 只能孤零零地成为一个奇怪的符号，无法参与任何有意义的运算。不是说 🤔 本身是一个错误，而是即便把它定义出来，它也很无聊，不能为数学世界增光添彩。

数学其实无所谓对错的，只要精彩就行。

Footnotes​

1. https://www.zhihu.com/question/658150175 ↩

一艘 1919 年于第一次世界大战后被击沉的战舰被从海底打捞上来，接着并不是被送去博物馆展出，而是像宝贝一样被送到专门的冶炼厂小心翼翼地回炉重造成特种钢材。

1919 年人类造出了什么神奇的东西，需要我们这些一百多年后的人拿出来重复使用呢？答案是「低本底钢（low-background steel）」。

所谓的低本底，就是「低背景辐射」的意思。1945 年原子弹面世，大量的核试验，加上两颗原子弹在日本引爆，造成了大气中产生了大量的放射性离子。1960 年代测得的大气背景辐射是今天的 30 倍。而炼钢的时候需要吹入大量的空气，就把大量放射性的粒子吹入了钢材中。

几粒老鼠屎掉到了面缸里，然后面团被不断抟揉、饧发、切割、合并，周而复始。可想而知，现在每一块做出来的饼都会带一点淡淡的味道。

有核电厂的工人被检测出身上带有的辐射超标，一番安全检测后发现是他买的一块手表的钢表带和衣服上的别针都带明显的放射性。

于是，要寻找没有辐射的钢材（比如要制造精密的辐射探测仪），只能以 1945 年以前留下的废铜烂铁，以及没有尚未被开采的矿石为原料。

2020 年 2 月 2 日，GitHub 将所有托管在上面的代码存档，封入了位于北极永冻土地下 250 米深的「北极世界档案馆（Arctic World Archive）」里。两年多后的 2022 年 11 月 30 日，ChatGPT 面世。我们每天接收大量 AI 生成的信息，恐怕无法做到出淤泥而不染吧。

有一天，也许当人类意识到自己对全部的软件代码失去控制的时候，那艘沉在冻土下 250 米的沉船将被当作最后的防线打捞上来，并且提醒我们去纪念那个一去不复返的时刻。

又到了乱扯超级无聊的数理知识的时间啦！

普通意义下，负无穷在数轴的最最最最左边，正无穷在数轴的最最最最右边，两者肯定是相差无穷远啊～

但是数学家喜欢不断地把事情抽象化再来研究思考，这样逼格就更高更能够揭示数学对象的本质。虽然实数轴可以画成一根直线，但是通过一个简单的变换，我们可以把它拗成别的形状而不破坏它的根本性质。

具体做法是这样的：我们在 0 点上边放上一个圆，圆的顶端记作 P。任取实数轴上的一个点 Q，射线 PQ 恰好与圆周有一个唯一的交点 Q'。于是，Q 与 Q' 就能产生一一对应，而且这种对应关系是连续的：如果 Q 只动一点点，那么对应的 Q' 也只动一点点。

拓扑学上，我们称实数轴与圆同胚……不，差了一口气——圆顶端的那个 P 是对应不到实数轴上的任何地方的，所以与实数轴同胚的不是整个圆，而是圆扣掉顶上的那个点 P。

回到一开始的题目，负无穷在实数轴上会跑到左侧无穷远的地方，但是对应到那个圆上，其实是跑到无限接近 P 左侧的位置。同样，正无穷在实数轴上是右侧无穷远的地方，相对应在圆上是无限接近 P 右侧的位置。

所以，「负无穷」和「正无穷」之间就像《创造亚当》的两根手指一样，中间只要填上一个单点 P 就接上了。接上以后形成了一个封闭的圆环，这是一个「无处逃逸」的形状（整个集合有限，而且没有一个可以无限接近却不在集合里面的极限点），数学上称作「紧」。

▲ 虽然只差一个点，距离却是无穷远。《创造亚当》是单点紧化的最佳范例。米开朗基罗肯定是懂拓扑学的，否则也不会用红笔把注解标出来

像实数轴这种乍一看「广阔无垠」，实际上只要一个画龙「点」睛就让整个集合逃不出如来佛的手掌心的戏法，在拓扑学中叫作 Alexandroff one-point compactification（亚历山德洛夫单点紧化）。

单点紧化的核心启示就是：别看负无穷和正无穷好像一个极左一个极右，其实它们两个是分别奔向同一个极点。

我不知道现在「英语角」还是不是一个常见的存在。记得小的时候，班级里会办「英语角」，公园里偶尔也会有「英语角」，就是让人可以去一个地方互相说英语的地方，以此锻炼英语口语能力。

「英语角」对于鼓励人勇敢开口的确是有好处，但是它也有一个严重问题——找一群自己英语都说不好的人互相练习，能产生好的效果吗？

学习口语最好的方式，当然是跟母语者多交流。要踏出这一步相当不容易，寻找一个母语者聚集的地方（比如酒吧）已经不是很方便了，更重要的是还要放下面子，让自己成为一个比较尴尬的弱者地位。相比之下，「英语角」之所以给人鼓励，是不是因为听见对方英文说得还没自己好的时候，内心能产生一点交织着优越感的欣慰？

健身房也是一个拜师学艺的好地方。记得疫情前我去的一个大健身房，角落里的沙袋平时没什么人玩。偶尔有一次看见一个老铁的出拳很明显是受过不少训练的，于是斗胆凑上去聊了起来，还让他带我一起练……

结果还没带我打几拳，就开始出其不意地对我一顿宣传他加入的传销组织……吓得我应付几句赶紧提包走人了。看来要蹭免费的教学还是有风险——想要免费练拳击，还是去初学者互殴的「拳击角」吧～

好久没有聊有关我的老本行——控制理论相关的知识了。因为经常与其他华人父母打交道，我发现大多数华人家庭认定的一种人生观非常像控制理论中的 MPC。

MPC（不是 NPC）是什么呢？它的全称是 Model Predictive Control（模型预测控制）。一般的控制系统采用的都是反馈控制的方法，一言以蔽之就是「如果偏高了就调低，偏低了就调高」。模型预测控制的想法就有点不同，它不是简单地测量距离目标的误差有多少，而是要做以下的几个步骤：

1. 对整个系统的输入和输出建立一个精准的数学模型；
2. 因为有了数学模型，我们可以模拟任何一系列操作产生的结果；
3. 根据最终目标，我们找到一套最佳策略，然后执行最佳策略里的第一步。

这么说好像也没能解释清楚……不如直接把两种控制论方法拿到人生观上来演示一下吧。

反馈控制的人生观比较直白，讲究「体验生活」（也就是测量误差）：

• 最近好累 ➡️ 休息
• 要考试了 ➡️ 好好学习
• 毕业了 ➡️ 找份最好的工作
• 工作太无聊 ➡️ 辞职
• 挣钱了 ➡️ 花掉
• 要买房了 ➡️ 存钱

但是模型预测控制却要「有远见的多」：

• 孩子刚出生：求解最佳人生轨迹「给婴儿听音乐培养乐感 ➡️ 三岁学乐器 ➡️ 六岁学奥数并且钢琴拿奖 ➡️ 十二岁考上重点初中 ➡️ 十六岁钢琴世界金奖，国际奥数获金牌 ➡️ 考上 MIT ➡️ 毕业进入 Jane Street ➡️ 赚大钱¹」
  • 决策：选择最优路线的第一步「给婴儿听音乐培养乐感」。
• 孩子六岁，发现毫无音乐天赋：再次求解最佳人生轨迹「学奥数并且钢琴拿奖练习击剑 ➡️ 十二岁考上重点初中 ➡️ 十六岁钢琴世界金奖击剑全国冠军，国际奥数获金牌 ➡️ 考上 MIT ➡️ 毕业进入 Jane Street ➡️ 赚大钱」
  • 决策：「学奥数、练习击剑」
• 孩子十二岁，数学完全没有天赋，也没考上重点初中：更新人生轨迹「十二岁考上重点初中补习标准化考试 ➡️ 十六岁钢琴世界金奖击剑全国冠军，国际奥数获金牌标准化考试满分 ➡️ 考上 MIT哈佛 ➡️ 毕业进入 Jane Street顶部律师事务所 ➡️ 赚大钱」
  • 决策：「补习标准化考试」
• ……

暂且不直接对这两种人生观下定论——控制论里，「富有远见」的模型预测控制与「活在当下」的反馈控制相比，前者就一定比后者更优越吗？其实并不是这样，甚至在实际应用中，反馈控制要比模型预测控制常见的多。

模型预测控制那么有远见，还会自动最优化系统路径，这么复杂完美的方案到底有什么弱点呢？理论很优美，现实很骨感——模型预测控制最大的两个弱点，就是「模型」和「测量」。

要建立一个精准的系统数学模型往往非常困难——因为这个模型是要拿来预测系统未来的走势，稍有不准，预测出来的路线和实际的路线就会有很大的偏差，求解出来的「最优策略」会跟实际结果完全脱节。

在测量上，模型预测控制往往需要对系统中许多变量都有精准的测量，这样才能把这些量代入数学模型中进行计算。反馈控制则不同，它一般只要知道现在的状况与理想值之间的差距就行了，对其他变量往往不感兴趣。

也就是说，模型预测控制费了半天的劲，实际上「计划跟不上变化」，还不如时时刻刻活在当下。

回到育儿的人生观，我现在也是基本放弃了 MPC 的态度。我能建立的人生模型，只能采用我作为一个中国的 80 后成长的经验。放眼今日的世界——十年后，哈佛会不会倒闭了？人真的就是要每一代都赚大钱吗？我怎么能确定孩子在某一方面有过于常人的持久兴趣与天赋？谁能保证明天没有意外？

当然，我并不认为走另一个极端，完全「活在眼下」就是更好的选择。其实重要的是承认我们没有能力预测长远的未来，也没有能力精准地测量孩子的每一个属性。缩短模型预测的时间，同时也要信任孩子对于眼下生活的反馈。毕竟，如果我们真的在人生观中严谨地应用 MPC 的原理，就应该立刻意识到人生的归宿终究是坟墓而已。

Footnotes​

1. 一般都是以这个为最终目的。 ↩

十几年前，我曾经在 YouTube 上刷到过一则语言辅导学校的视频，题为 The Power of Words。我认为翻译成「语言的力量」似乎并不能准确捕捉其精义，因为它并不是在聚焦文字与别的表达形式之间的差别，而纯粹是不同文字表述之间力量的差异，遂用「遣词」。

这个视频非常短，不到两分钟，但是最后公布答案的那一幕给我了极大的冲击。

（哔哩哔哩版在这里）

我有一个朋友是药物学方向的，具体研究的内容是「药物的封装技术」，即一种药物最后应当制成什么：胶囊、片剂、粉剂、悬浊液，还是注射液等等。隔行如隔山，我一个门外汉的第一反应就是「这好像没什么太多可以研究的，都试一下不就好了吗，需要博士学历吗？」可是，这反而是药物制作流程中性价比最高的一个环节。或者反过来说，最有可能一不小心就前功尽弃的「坑」。药物的功效再高，如果不能扛过人体内各种消化液的破坏，或者有效成分不能在血液中维持在一个安全有效的浓度区间里，那么轻则没有药效，重则造成严重药毒性。

一个人再有深邃的思想，如果无法有效地表达出来，后果也和封装不良的药物一样，轻则无法抓住人们的注意力，重则引起读者的误会或者反感。

语言表达能力在哪里都是极其重要的素质，不过各地都有一些具体的特色。比如在美国，故事情节非常注重 show not tell（也就是「不要说教」），像上面视频里的例子基本就是这个套路。身为中文母语者，我好像反而不会总结中文表达的特色了。

我自知文字表达能力属于中下游，因为平时阅读量很少，思考问题喜欢符号化、数理化，要表述一个思想可能不算太困难，可是要把思想讲得像川贝枇杷膏一样又美味又有效，那就是另一个境界了。这就不得不提我关注的大多数博主和公众号笔者，文采飞扬，真心佩服。

现在有了 AI，有人把它当作了「解决方案」——把所谓的「思想」告诉 AI，再让它来组织语句，美化词藻。在工作场合，我可能的确会这么做。但是在个人的随笔里，「文采」本身就是「思想」的一部分。仅仅是为了讨好读者，就给自己的博客留下不真实的思想记录，这是我个人无法接受的妥协。

所以我接下来想采用这样的方式：让我的 AI Agent 每天抓取我发布的文章后，给我一个评价和修改稿，期待这样能够更加高效地提升自己遣词的能力。

有一件事情我一直想不通：为什么我们大脑半侧控制的是对侧的身体？这样神经束要在中间交叉，多麻烦？为什么不能左边管左边，右边管右边，这样安排神经通路不是很简洁吗？

关于这个问题，Quanta Magazine（一个英语科普杂志）曾经登过一篇文章，从拓扑的角度来解释这个问题，大概的意思是说（如果我没有理解错的话），因为大脑是一个向下弯曲的曲面，而身体上的皮肤总体上是向上弯曲的曲面，如果两者间要建立连续的，尽量不交错的神经束，就至少要在一个维度上颠倒一下。好吧，其实我没怎么想明白……

但我后来找到了另一个很有说服力的解释——成像系统。单眼生物需要小孔成像，投射在视网膜上的图像是与真实物体上下左右完全颠倒的。如果一个物体突然进入了视线的右侧，那么它在视网膜上会被投射到最左边。如果感知到右边出现了东西（比如说可以吃的「虫子」），那么生物就会想要尽快移动右半身去捕食或逃离危险。所以，大脑右侧的信号直接在右脑处理后，控制左半身才是最有效率的做法。

我觉得这个说法很有说服力啊！不过现在人都有两只眼睛了，这个说法好像又有点讲不通了……反正到目前为止，这还是一个未解之谜，所以本博客肯定只能负责抛砖啦。

今天要介绍的是一个叫 William Newcomb 的人提出来的「哲学」问题，因此被称为纽康伯问题（Newcomb's Problem）。这是维基百科中文词条里的名字——我觉得除非这个译者在搞恶作剧，否则什么狗屁水平居然能翻出「伯」音来。

我兼顾信达雅，把它篡改成了「纽扣问题」，同时索性把题目表述也变成用纽扣好了。

根据学者 Robert Nozick 的论文¹，这道题目比较有意思的地方在于「所有人似乎都觉得答案显而易见，但是却站成了两队，并且互相认为对方是傻X。」为什么一道哲学题居然能取得像美国政治一样的效果呢？

这个问题看似数学味道浓郁，哲学气息爆棚，其实在我看来这压根不是一道数学或哲学问题，而是一道挂羊头卖狗肉的「性格测试题」。

数学角度​

这道题的数学角度非常容易解——你都站在两粒纽扣前面，无论你怎么选都不会改变眼前的事实了，还用顾忌什么「AI 预测」呀？当然是两粒都拿上啊！这都想不明白的话显然是傻X。

什么「AI 100% 神预测」在此刻都是干扰信息。你也许就是一个特殊体质，AI 就错在你一个人身上，也不是不可能。

哲学角度​

无非就是要拖入「概率的本质」与「真正的自由意志」这类非常难搞的哲学话题里：如果真的出现了一个 AI 拥有不可思议的预测正确率，它是不是神？信息逆着时间传播的可能性是不是需要考虑一下？或者说，我们其实根本没有自由意志？

但在我看来，这是制造出一个不可能成立的前提（不存在这样的预测者），然后利用逻辑上的「假前提可以推出任何结论」这条引理，让人无谓地陷入两个对立结论的争论之中。

实用角度​

好吧，假如今天我真的站在那个房间里，听见了那个主持人的说明，也亲自验证了 AI 预测全中记录的真实性，那么我会怎么选择呢？

当然是选择相信 AI 的预测啦！既然只有「AI 预测全中」结果是我亲自验证的，鬼晓得主持人是不是在撒谎，或者有没有什么高级视觉骗术。比起相信主持人的说辞，甚至是宇宙物理定律，我更相信自己只是一个很普通的统计样本点。

所以，这不就是个性格测试题吗？

你选对吗了吗？留言告诉我哦～

Footnotes​

1. 维基百科的词条里有引用，我不赘述了。 ↩

有没有这样的经历：你做完一件事，事后别人告诉你一个重要的事实，你惊呼「我当时真的不知道啊！」

（我应该有一堆这样冤大头的经历，但我想不起来了……）

我们的经验有限，所以许许多多的事情是我们「真的不知道」的。这不一定是一个弱点，反而可能是我们比 AI 更优越的地方。

「真的不知道」很重要​

1939 年，博士研究生 George Dantzig 上统计课迟到了。他偷偷溜进教室，发现教授已经在黑板上留了两道作业题。作业原本隔天就要交，结果他做了两三天才做出来，并觉得「这两道题比平常的作业题好像要稍微难一些」。

六周后，授课教授兴奋地找到 George Dantzig，告诉他：那两道题其实是统计学中著名的未解之难题，而他给出的解法经反复验证是正确的！

如果 George Dantzig 当时并不是「真的不知道这是未解之题」的话，他还会不会花时间去试着解决它们呢？也许吧，但动力可能比「这是作业题」要低多了。

但换作 AI 可真就不好说了——如果训练数据里有大量关于「这题如何如何难」的内容，AI 很可能就会被套住紧箍咒，想不出解决办法。

「不知道」是一个不可逆的状态​

十几年寒窗苦读，就是为了让自己从「不知道」的状态变成「知道」的状态。但有意思的是，物理上从「不知道」变「知道」比较容易，从「知道」变成「不知道」才是更困难的。

比如拿我们现在用的 NAND 固态硬盘来说，信息擦除是对硬件伤害最大的操作，以至于操作系统都要优化写入算法，让擦除操作尽量平摊到固态硬盘的各个区域。固态硬盘的核心品质指标「额定总写入 TB 量（TBW）」就是照着可擦除次数算出来的。

物理学与信息学的交叉领域有一个重要的定律「兰道尔原理（Landauer's Principle）」，讲的是「擦除信息必须要付出热力学代价（放热）」，而对于信息的写入操作其实反而是没有热力学限制的。

我们人脑其实也是这样啊：「给我一杯忘情水，换我一生不伤悲……」（糟糕，好像越写越离题了。）

我们不一定要知道万事​

知道的多，不一定就是长处；不知道的多，可能性也多。

为「不知道的事很多」而感到 FOMO 是非常不值得，尤其是那些让人焦虑又无力的时政类信息。天天看短视频和短文「积累知识」也不一定是有益无害的事情……

🏃‍♂️……等等，你别退订我的日更博客啊啊啊～

关于「熵」，许多人都知道这是系统混乱程度的一种统计力学度量。

• 所以，像军队走方阵那样「整齐划一」的系统就是低熵的
• 磨灭每个人的个性，让所有人变成从一个模具里铸造出来一样，这样的社会就是低熵的
• 一个国家，让人种和文化尽量单一，这样的国家就是低熵的

……吧？恰恰相反，以上这几个例子都是高熵态。

熵到底是什么​

「熵」用最简单的文字来描述的话，的确是可以用「混乱度」三个字总结，只是统计力学里的「混乱度」和我们的直觉是反的——单一性强的系统才是混乱的。比如你去吃咖喱饭 🍛，盘子的左边是咖喱汁，右边是白米饭，这是低熵态；如果你用勺子把咖喱饭拌匀，整盘咖喱饭看起来「整齐划一」了，这就是高熵态。一边咖喱一边饭的可以拌匀成一盘咖喱饭，但谁也没能力把拌匀的咖喱饭恢复到之前的状态。这就是热力学第二定律。

拌匀的饭为什么是最混乱的？因为任意两个粒子可以在系统中交换而不影响系统的构成。相反，一边咖喱一边饭的状态中，如果对换一点咖喱和一点饭，就会看起来像个阴阳符 ☯️ 一样，长得就不一样了。

人体之所以是一个低熵的耗散系统，因为人体内的部件都不能轻易交换——血液要在血管里流，左心室和右心室功能不同，表皮和真皮细胞各司其职……这种多样性、不可错位性，就是低熵的耗散系统的特征。

人类社会也是一种广义的生命​

一个「整齐划一」的社会，每个人都毫无个性，可以被另一个人完全替代。统计物理意义下，这其实是一个极度混乱的社会——只不过极度混乱的社会，是一个稳定的社会。高熵系统才是稳定的。从「高熵」状态变成「低熵」状态，把拌匀的咖喱饭恢复成一半一半的样子，这就是「生命」的神奇特征。

这就是为什么一个社会和国家，渐渐发展成多民族、多样人群和谐共处，是一种富有生命力的表现。随着熵越来越低，系统要维持低熵态的能量需求也就越来越高。当经济发展速度跟不上这个高需求的时候，熵增——也就是同质化过程就会开始。国家开始恢复成单民族、单文化、单一信仰的群体，人的个性被磨灭。

对于「生命」而言，就是衰老和死亡的过程。