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假如赌场里有一个游戏，赢钱概率 51%，赔率 1:1（就是在退还你赌资的基础上，再给一倍的奖金），你可以一直玩。请问，你的最佳策略是什么？

由于赢钱的概率大于 50%，在 1:1 的赔率下，期望收益明显是正的。按照一般的理论和直觉，我们应该选择玩这个游戏，而且最好一直玩下去。但是，毕竟还有 49% 血本无归的可能，如果一次把钱全部投下去，万一输了就没有任何本钱继续玩了。

所以，每次投多少钱是有一个讲究的。这里隆重推出本文的主角，凯利公式（Kelly's Formula）：

$f^*=p-\frac{1-p}{b}$

其中：

• $p$ 代表赢钱的概率；
• $b$ 代表赢钱的赔率（赌注基础上的额外部分）；
• $f^*$ 代表最佳下注比率。

凯利判据​

什么游戏是不值得玩的呢？只要考虑 $f^*\le 0$ 的情况就可以了，可以推出 $p\le\frac{1}{b+1}$，这个数恰好等于公平游戏的边界。

Footnotes​

1. You Only Live Once，「不枉此生，凡事豪赌」 ↩

今天有点好奇：一个普通用户的隐私具体被卖了多少钱？我搜集了一圈数据，发现还是能算出一个数来的。

下面以 Facebook 为例。根据 Meta 在 2023 Q4 财报¹中披露的信息，当年的平均用户收入²是 $44.60。平均每个用户的在线时间是 10 分 22 秒³。也就是说，如果你平均每天在 Facebook 上花一个小时，那么你一年为 Facebook 创造的营收大约是 $258.14。

这个数字全算成「隐私的价格」有点不公平，因为哪怕 Facebook 完全不用你的个人信息，随机给你投放广告，你也有一定的概率点进去的。但是现实中不存在这么善良的 Facebook 啊～🤔

所以我们只能用一些其他的数据来估算，比如这份报告⁴给出了广告在不同投放渠道的里「点击率」⁵。其中：

有无个人信息的对比	点击率效果
个人定制的「畅销推荐」相比无定制的「畅销推荐」	×2
再营销广告（之前访问过网站但还没消费）相比一般广告	×10
个人定制的「行动呼吁」相比泛泛的「行动呼吁」	×3

可见，隐私信息对于广告商业转化率的效果是巨大的。如果保守估计因为收集个人信息，广告供应商平均可以提升 30% 的点击率，那么每年一小时给 Facebook 贡献的 $258.14 里，基础部分是 $198.57，隐私部分是 $59.57（$198.57 的 30%）。（这个提升的比例猜得越高，隐私部分的比例也越高。）

因此根据我的粗略估算，你平均每天多上 1 分钟 Facebook，一年下来 Meta 能从你身上大约多榨取 $4 价值，其中约 $1 来自你的隐私，$3 来自你的注意力本身。

Footnotes​

1. https://d18rn0p25nwr6d.cloudfront.net/CIK-0001326801/c7318154-f6ae-4866-89fa-f0c589f2ee3d.pdf ↩

2. Average Revenue Per User (ARPU)，财报第 70 页。这是全球的平均，具体到高收入地区，这个数字还要高。例如美国的平均可以达到 $68.44。 ↩

3. https://www.demandsage.com/facebook-statistics/ ↩

4. https://bestcolorfulsocks.com/blogs/news/product-personalization-engine-ctr-statistics ↩

5. Click-Through Rate (CTR) 指的是「广告被点击次数 / 广告被显示次数」，这是广告最重要的商业价值指标。 ↩

假设用以下两种策略来投资美国股市：

• 「蓝策略」每天在纽约时间 16:00 用收盘价买入美股 ETF，第二天早上 9:30 一开盘就卖出，等到下午收盘前再次买入。如此周而复始。
• 「绿策略」相反，每天一开盘买入，收盘时卖出。如此周而复始。

根据一个专门关注「异常隔夜回报」的网站¹，这两种策略从 1994 年来的总收益（不计交易成本），大概会长得像这样子：

为什么白天持股和晚上持股的收益差距能这么大？我能想到几个正常的理由。

正常理由一：资金利用率没有最大化​

先考虑一些显然的因素。首先就是要确保这两个策略没有在浪费资金——在投资里，任何闲置的资金至少要能获得一个「无风险利率」的收益；换言之，不用的钱必须要存银行吃利息（这是理论上的假设，实际生活中当然有不存银行的理由啦）。

于是，我们要先修正一下这两个策略，让两者没有「浪费」。这样才能公平比较它们的回报差别：

「蓝策略+」是：白天钱存银行，晚上投股票 「绿策略+」是：白天投股票，晚上钱存银行

由于利息是隔夜计算的，「绿策略+ 」能拿到银行利息，「蓝策略+」一分利息都拿不到。因此如果都不存银行的话，「蓝策略」等价于「蓝策略+」，但「绿策略」相比「绿策略+」要损失一个无风险利率。

除非我们在白天能找到无风险的投资渠道，否则绿相比蓝一定是吃亏的。而无风险利率是由各国的中央银行调控的，长期无风险利率收益应该约等于通货膨胀率（因为根据传统的金融理论，不愿意承担风险就得不到超额收益，存银行拿来的利息，和物价上涨的幅度也应该正好抵消）。

那么 1994 年到 2005 年的通货膨胀率是多少呢？我在这里算出来的数是 +118.61%。所以「蓝策略+」收益是如图中的 +1,528%，「绿策略+」收益是 +118.61%，两者还有很大的差距。

正常理由二：盘后比开盘的时间长、风险大​

这是另一个显然的因素。按照纽交所开盘的时间来计算，股票一年的开盘交易时长大概是 250 天，每天交易 6.5 个小时，一年总共交易的时长是 1600 小时左右。盘后的时间约为 7100 小时以上。盘后又是各个公司财报发布的时间（几乎没有公司会在开盘的时候发表财报这样的重要公告）。因此，「蓝策略」持股的时间和承担的风险都远远大于「绿策略」，回报当然也理应高得多。

接下来，就是非正常理由了。

正常理由无法解释的全球股市​

我的标题用了「全球股市」，但是到目前为止，我只是在说美国股市。那么全球其他股市到底有没有类似的情况呢？在此借用 overnightreturns.org 的图表：

这就相当离谱了！绝大多数的股市如果按照「绿策略」，基本要把全部的本金亏掉？！这是怎么回事？即使按照上面分析的理由，夜间持股的时间比白天长，那两者至少还是同涨同跌才对。何况夜间持股在分红的时候价格上还吃亏了（分红日价格会隔夜下降，因为要把分红的部分从价格里扣掉）。

我绞尽脑汁想，只能推测出一个理由——信息泄漏。

什么信息泄漏​

无疑，如此长期的反常趋势，只能推导出下面两个陈述，至少有一个是真的：

1. 开盘价高于公允价
2. 收盘价低于公允价

只有这样，「绿策略」才有可能反复高买低卖，持续亏损。「收盘价低于公允价」，可以看作是上述「正常理由二」的一个印证（市场害怕晚上无法交易的时段爆出黑天鹅事件）。但是像泰国和台湾这样的股市，几十年来两者的趋势对比居然毫无波动，很难想象能用「风险规避」这样的理由来解释。这样，我们只能聚焦在「开盘价高于公允价」这个假设了。

谁会在开盘价买入股票呢？就是在收盘后下单买股票的人。这些单子不能交易，就会被暂存在券商，等待开盘后发送到交易所成交。那么这些券商如何利用这些单子的信息呢？

有一点是肯定的——券商们一定非常诚实，绝对不可能将订单信息卖给别人，也不可能自行哄抬价格让客户吃亏的啦！ 客户亏钱肯定是自己运气太差——不是一般的差，是三十年来持续差得离谱。👻

图里还会看到一个现象：美国的 S&P 500 走势明显要好于其他的市场。 我猜测的理由是：S&P 500 指数有流动性非常高的夜间期货市场。

期货市场的特点就是买卖对称（或者应该说是做多和做空）。技术细节不在此赘述，总之如果有人发现价格异常，就可以快速通过期货来套利，而不会像股票一样一个晚上都无法交易。

结语​

这些观察完全不是用来推销「收盘买，开盘卖」的策略的——如果天天这样捣腾，投资很快就都被手续费和交易成本侵蚀完了。

我只是想指出，夜间无法交易，使得有机会泄露信息的券商可能获得丰厚的不公平收益。对抗这些不公平手段的方法，就是引入更健全自由的交易机制（24 小时期货交易、现货交易），让市场监督市场，用魔法打败魔法。

对于个人投资客并没有什么能学到的功课。如果你不是一直买进卖出（绝不应该这样做），那么偶尔买入卖出的时间点，并不会对长期投资的收益有什么实质影响。当然，尽量不要在盘后下单啦，尽自己一份力让作弊者少挣一点～

Footnotes​

1. https://www.overnightreturns.org ↩